domingo, 30 de marzo de 2008

Premio Abel de matemáticas

El Premio Abel, generalmente considerado el "Nobel" de las matemáticas, ha sido ganado este año por dos matemáticos cuyo trabajo ha ayudado a clasificar los módulos de la simetría.
John Griggs Thompson de la Universidad de Florida, Gainsville, y Jacques Tits del Collège de France en Paris, Francia, son los ganadores del premio, de 6 millones de kroner noruegos (1,2 millones de dólares), por su trabajo en la teoría de grupos, que describe cómo las propiedades simétricas de los objetos caen en distintas clases de grupos.
La teoría de grupos es una de las ramas de las matemáticas puras más útiles en la práctica, siendo utilizada en campos científicos que van desde las teorías fundamentales de la física de partículas al análisis espectroscópico de moléculas.
Las simetrías de los objetos pueden ser descritas utilizando “operaciones de simetría” fundamentales: manipulaciones que dejan el aspecto del objeto sin cambios. Esto es cierto para los cuadrados y los cubos, por ejemplo, si ellos son rotados en un cuarto de una rotación completa, o si ellos son reflejados en varios planos de reflexión que cortan a las formas en la mitad.
El conjunto completo de tales operaciones de simetría para un objeto constituye un “grupo”. Existe solamente un número limitado de tales grupos y ellos por lo tanto brindan una manera de poner todas las formas (o ecuaciones algebraicas) en un pequeño número de clases básicas de objetos simétricos, una especie de “Tabla Periódica” de los objetos simétricos.
Thompson demostró que ciertas operaciones de simetría pueden ser divididas en operaciones individuales más básicas, casi como la forma en que las moléculas pueden ser descompuestas en sus átomos elementales. Esas operaciones elementales están relacionadas con los números primos. Por ejemplo, una rotación simétrica de un polígono de 15 grados es equivalente a las rotaciones de un polígono de 5 lados y un triángulo equilátero, ambos inscritos dentro del polígono original.
En 1963 Thompson y Walter Feit (que murió en el 2004) probaron que la descomposición de los objetos simétricos en esas formas con lados con números primos siempre es posible para objetos con un número impar de simetrías (como el polígono de 15 lados) pero no es posible para los que tienen un número par (como un polígono de 16 lados). Su prueba del Teorema del Orden Impar llenó 255 páginas y ocupó un volumen completo del Pacific Journal of Mathematics, algunas otras revistas rechazaron el artículo porque era muy largo.
Este trabajo mostró cómo decir si un grupo era reducible o no a grupos más fundamentales, y dio lugar al reconocimiento de los llamados grupos finitos, que tienen un número finito de elementos de simetría y pueden ser clasificados en familias, dando lugar a la tabla periódica de tales grupos. Ellos están enumerados en un libro denso llamado Atlas de los Grupos Finitos.
Tits ha estudiado las propiedades simétricas de los llamados grupos lineales, en los cuales las operaciones de simetría pueden ser infinitas. Existe, por ejemplo, un número infinito de rotaciones de un círculo que lo dejará de la misma apariencia.
Aunque un círculo parece una forma simple, las simetrías infinitas de tales formas son difíciles de controlar. “El trabajo de Tits es intentar domesticar el espacio infinito de esos objetos, reducir lo salvaje al comportamiento domesticado”, dice Graham Niblo, teórico de grupos de la Universidad de Southampton en el Reino Unido. El trabajo de Tits mostró cómo esos grupos pueden ser descritos y analizados en términos geométricos, haciendo sus propiedades más fáciles de visualizar. El acuñó el término “construcciones” para describir las estructuras geométricas que surgen como resultado, y demostró que pueden ser descompuestas en los llamados “apartamentos” y “cámaras”.
Fuentes:

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